Всего: 220 1–20 | 21–40 | 41–60 | 61–80 …
Добавить в вариант
Известно, что 
и 
Докажите, что уравнение 
имеет два различных корня.
Запишем данное в условии равенство в следующем виде:
А это равенство запишем в виде 
где 
Таким образом, либо 
и числа 1 и 2 являются корнями данного уравнения, либо эти значения имеют разные знаки, что также означает, что график функции 
пересекает ось абсцисс в двух различных точках.
Известно, что 
Докажите, что уравнение имеет два различных корня.
Из условия следует, что 
иначе получим неверное неравенство 2016 < 0. Далее условие задачи перепишем в виде:
или
Если a > 0, то ветви параболы направлены вверх и f(−1) < 0, и данное уравнение имеет два различных корня. Аналогично при a < 0. Что и требовалось доказать.
Решить в действительных числах систему уравнений: 
Рассмотрим случаи.
1) Пусть 
тогда 
откуда 
— первые три решения.
2) Пусть 
тогда 
откуда 
— первое и два последних решения. Покажем, что других решений нет.
3) Пусть 
и 
Вычтем из первого второе уравнение и разделим на 
получим 
Сложим первое и второе уравнение и разделим на 
получим 
Следовательно, 
откуда 
то есть что в данном случае невозможно. Новых решений не получается.
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Верное решение. | 7 |
| Рассмотрены первые два случая. | 2 |
| Угаданы с проверкой все решения. | 1 |
| Потеряна часть решений. | 3-6 |
| Решение не соответствует ни одному из перечисленных выше критериев. | 0 |
| Максимальный балл | 7 |
Известно, что существует натуральное число N такое, что 
Найдите 
Предположим, что возведя число 
в степень N, мы получили число 
(здесь a, b, A, B — целые). Раскрыв скобки в выражении 
получим сумму одночленов (с для нас сейчас несущественными целыми коэффициентами) вида 
Вклад в коэффициент B дадут те одночлены, у которых показатель n нечетен. Поэтому, если 
то 
Перемножив равенства 
и 
получим 
Показатель N найдем, деля обе части последовательно на 2 (можно, например, сразу поделить каждое слагаемое справа на 256).
Ответ: 
Решите уравнение 
Здесь 
— натуральные числа, не превосходящие 5.
Пусть 
Рассмотрим случаи:
1) 
Очевидно, этот набор — решение.
2) 
Тогда заметим, что при 
получим верное равенство.
Функция 
на промежутке 
возрастает, поэтому наборы 
при 
и (1;2;3), (1;2;4), (1;3;5), (1;4;5) не являются решениями.
Остается убедится, что (1;3;4) не являются решениями.
Ответ: (2;2;2), (1;2;5), (1;5;2), (2;1;5), (2;5;1), (5;1;2), (5;2;1).
Решите уравнение 
Левую часть уравнения будем интерпретировать как квадратный трехчлен относительно 
Чтобы корни существовали, дискриминант должен быть неотрицательным, т. е.
Для четных n получаем уравнение
а для нечетных n находим:
Левая часть уравнения — четная функция x, поэтому для 
и для 
соответствующие значения y будут одними и теми же.
Ответ: 
Действительные числа 
удовлетворяют соотношениям:
Найдите все возможные тройки чисел 
где 
Заметим, что
Обозначим 
и 
Вычитая друг из друга эти равенства, получим:
(2)
Предположим, что все три числа 
отличны от нуля. Тогда 
и 
что невозможно, так как, сложив 2-е равенство с 3-им и вычтя 1-е, получим 3 = 0. Значит, хотя бы одно из чисел равно нулю. Рассмотрим возможные случаи:
1) Все три числа равны нулю. Тройка 
очевидно, удовлетворяет условиям задачи (достаточно взять 
2) Среди чисел только два равны нулю. Это невозможно: если два числа равны нулю, то, согласно (1), равно нулю и третье.
3) Только одно из чисел равно нулю.
· 
Тогда 
Из системы (2) находим 
· 
Тогда 
· 
Тогда 
Ответ: (0,0,0), (0,1,1), (1,0,-1), (-1,-1,0).
Действительные числа 
удовлетворяют соотношениям:
Найдите все возможные тройки чисел где 
Заметим, что
Обозначим и Вычитая друг из друга эти равенства, получим:
(2)
Предположим, что все три числа отличны от нуля. Тогда и что невозможно, так как, сложив 2-е равенство с 3-им и вычтя 1-е, получим 3 = 0. Значит, хотя бы одно из чисел равно нулю. Рассмотрим возможные случаи:
1) Все три числа равны нулю. Тройка очевидно, удовлетворяет условиям задачи (достаточно взять
2) Среди чисел только два равны нулю. Это невозможно: если два числа равны нулю, то, согласно (1), равно нулю и третье.
3) Только одно из чисел равно нулю.
· Тогда Из системы (2) находим
· Тогда
· Тогда
Ответ: (0,0,0), (0,1,1), (1,0,-1), (-1,-1,0).
Известно, что уравнение 
имеет единственный действительный корень 
Придумайте хотя бы одно уравнение вида
где 
– целые числа и 
одним из корней которого было бы число
Запишем соотношения
Правые части можно упростить (привести по модулю 
воспользовавшись тем, что 
В результате получим
Первые два равенства можно рассматривать как систему линейных уравнений с двумя неизвестными 
и 
Решив ее, найдем 
Подставив эти соотношения в последнее равенство, получим искомое уравнение относительно 
Ответ: например, 
Известно, что существует натуральное число N такое, что
Найдите
Предположим, что, возведя число в степень N, мы получили число (здесь 
– целые). Раскрыв скобки в выражении получим сумму одночленов (с несущественными (для нас сейчас) целыми коэффициентами) вида 
Вклад в коэффициент B дадут те одночлены, у которых показатель n нечетен. Поэтому, если то 
Перемножив равенства 
и 
получим 
Показатель N найдем, деля обе части последовательно на 2 (можно, например сразу поделить каждое слагаемое справа на 256).
Ответ:
Найдите число решений уравнения 
Здесь 
— натуральные числа, не превосходящие 5.
Пусть 
Рассмотрим случаи:
1. Очевидно, этот набор — решение.
2. Тогда заметим, что при получим верное равенство.
Функция на промежутке 
возрастает, поэтому наборы 
при 
и 
не являются решениями. Остается убедиться, что (1; 3; 4) не является решением.
Ответ: 7.
Сколько решений уравнения 
попадает в круг 
Левую часть уравнения будем интерпретировать как квадратный трехчлен относительно Чтобы корни существовали, дискриминант должен быть неотрицательным, т. е.
Для четных n получаем уравнение
а для нечетных n находим 
Левая часть уравнения — четная функция x, поэтому для 
и для 
соответствующие значения y будут одними и теми же. Решение имеет вид
В круг 
попадает только 6 решений.
Ответ: 6.
Восемь чисел 
и 
удовлетворяют соотношениям:
Известно, что 
Найдите 
Докажем, что 
Умножим уравнение (а) исходной системы
на 
и вычтем из него уравнение (б), умноженное на 
В результате получим
Здесь 
Аналогично, из (в) и (г) находим, что
Заметим, что 
так как в противном случае из (3) следовало бы, что 
а значит и 
что противоречит условию задачи. Остается выразить 
и 
из (2) и (3) и подставить полученные выражения в (1). Справедливость соотношения (1) будет тем самым доказана. Далее из уравнения (г) и равенства (1), следует, что 
Ответ: 
Комментарий: система уравнений в задаче – это покомпонентная запись матричного равенства:
Хорошо известно, что если произведение двух матриц равно единичной, то такие матрицы коммутируют, а значит система уравнений в задаче останется справедливой, если в ней все ai заменить на bi и наоборот. Из этого наблюдения равенство (1) следует немедленно.
Решите уравнение 3x − 2y = 7 в целых неотрицательных числах.
При делении 3x на 8 дает остатки 3 и 1, значит, при 
решений нет. Перебирая y = 2 и y = 1, получим единственное решение x = 2, y = 1.
Ответ: x = 2, y = 1.
Только ответ с проверкой или без — 0,5 балла.
Проверка ответа не требуется.
Решите уравнение 7x − 2y = 3 в целых неотрицательных числах.
При делении на 
даёт остатки 7 и 1, значит, при 
решений нет. Перебирая 
и 
получаем один ответ.
Ответ: 
Только ответ с проверкой или без — 0,5 балла.
Проверка ответа не требуется.
Найдите количество решений в натуральных числах уравнения x (y + z) = 1000.
Преобразуем исходное уравнение 
где d — делитель 1000. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и 
пара 
(так как y может принимать значения от 1 до 
а z после этого определён однозначно). Таким образом, искомое количество решений — это сумма всех делителей 1000 минус их количество, 
Так как 
Вместо использования формул можно просто выписать все делители числа 1000, благо их не так много.
Ответ: 2324.
Только ответ — 0 баллов.
Формулы для суммы и количества делителей считать известными и не требовать доказательств.
Правильное решение с арифметическими ошибками — 2 балла.
Найдите количество решений в натуральных числах уравнения x (y + z) = 1000.
Преобразуем исходное уравнение 
где 
делитель 400. Для каждого числа d таким образом существует единственное число x и пара (так как y может принимать значения от 1 до а z после этого определён однозначно). Таким образом, искомое количество решений — это сумма всех делителей 400 минус их количество, 
Так как 
Вместо использования формул можно просто выписать все делители числа 1000, благо их не так много.
Ответ: 946.
Только ответ — 0 баллов.
Формулы для суммы и количества делителей считать известными и не требовать доказательств.
Правильное решение с арифметическими ошибками — 2 балла.
Решите уравнение:
I способ Метод мажорант. Преобразуем исходное выражение:
Так как каждая дробь в левой части уравнения не превосходит единицы, а таких дробей всего 1009, то уравнение имеет решение тогда и только тогда, когда каждая дробь обращается в единицу. Следовательно,
II способ. Замена переменной. Пусть 
тогда
Так как выражение в квадратных скобках положительно, то
Ответ: −1.
Обоснованно получен верный ответ — 10 баллов. Решение в целом верное, но имеются небольшие недочеты непринципиального характера — 7−8 баллов. Получены некоторые вспомогательные утверждения, обеспечивающие продвижение в решении в верном направлении — 3−4 балла. Ответ получен подбором, но при этом выполнена проверка — 1 балл.
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 20, x + y + z = 9. Докажите, что 
Выразим 
через 
Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 5, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 0 до 5, сумма попарных произведений не меньше 24, а обратный случай невозможен. На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 0 до 5.
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
Положительные числа x, y и z таковы, что xyz = 24, x + y + z = 10. Докажите, что 
Выразим через x. Для этого заметим, что 
а 
откуда
Это выражение при положительных x принимает отрицательные значения только если 
То же самое можно заключить про остальные переменные. При этом все три переменные не могут быть быть больше 6, так как тогда их сумма слишком велика.
Таким образом, мы доказали, что если хотя бы одна из переменных лежит в промежутке от 2 до 6, сумма попарных произведений не меньше 28, а обратный случай невозможен. (На самом деле, можно убедиться, что все переменные лежат в промежутке от 2 до 6).
В ходе решения участник олимпиады может пытаться использовать метод Штурма, неравенства о средних для двух или трёх переменных и другие известные неравенства и приёмы. Известные неравенства разрешается использовать без доказательства.
Наверх